在数学分析中，探讨函数的导数是理解其变化规律的重要途径之一。对于三角函数而言，tanx（正切函数）是一个非常基础且重要的对象。本文将深入分析tanx的导数及其背后的数学原理。

首先，我们需要明确tanx的定义。tanx可以表示为sinx/cosx的形式，其中sinx和cosx分别是正弦函数和余弦函数。根据商法则，两个函数f(x)和g(x)的商f(x)/g(x)的导数可以通过以下公式计算：

\[ \left( \frac{f}{g} \right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2} \]

将此公式应用于tanx = sinx/cosx，我们得到：

\[ (\tan x)' = \frac{(\sin x)' \cdot \cos x - \sin x \cdot (\cos x)'}{\cos^2 x} \]

接下来，我们知道sinx的导数是cosx，而cosx的导数是-sinx。代入这些导数值后，公式变为：

\[ (\tan x)' = \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x} \]

进一步简化，分子部分变为：

\[ \cos^2 x + \sin^2 x \]

根据著名的三角恒等式，cos²x + sin²x始终等于1。因此，最终结果为：

\[ (\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x} \]

这也可以写作sec²x，因为secx定义为1/cosx。

总结来说，tanx的导数是sec²x。这一结果在微积分中有着广泛的应用，尤其是在处理与角度相关的动态变化问题时。希望本文能帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。