【立体几何点到平面的距离公式】在立体几何中，计算一个点到一个平面的距离是一个常见的问题，广泛应用于数学、物理、工程和计算机图形学等领域。掌握这一公式的推导过程和应用方法，有助于提高空间想象力与解题能力。
一、点到平面距离的定义
设有一个点 $ P(x_0, y_0, z_0) $ 和一个平面 $ \pi $，其方程为：
$$
Ax + By + Cz + D = 0
$$
点 $ P $ 到平面 $ \pi $ 的距离 $ d $ 是从该点沿垂直于平面的方向到平面的最短距离。
二、点到平面距离的公式
点 $ P(x_0, y_0, z_0) $ 到平面 $ Ax + By + Cz + D = 0 $ 的距离公式为：
$$
d = \frac{
$$
其中：
- $ A, B, C $ 是平面的法向量；
- $ D $ 是常数项；
- 分母是法向量的模长，用于归一化。
三、公式推导思路（简要）
1. 法向量方向：平面的法向量为 $ \vec{n} = (A, B, C) $。
2. 点到平面的投影：将点 $ P $ 向平面做垂线，垂足为 $ Q $，则 $ PQ $ 为所求距离。
3. 利用向量点积：通过向量投影公式，可以得出点到平面的距离表达式。
四、典型例题解析
| 题目 | 已知条件 | 解答步骤 | 结果 | ||
| 求点 $ (1, 2, 3) $ 到平面 $ x + 2y - 3z + 4 = 0 $ 的距离 | 点 $ (1,2,3) $，平面 $ x+2y-3z+4=0 $ | 代入公式：$ d = \frac{ | 1+4-9+4 | }{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-3)^2}} = \frac{0}{\sqrt{14}} = 0 $ | 距离为 0，说明点在平面上 |
| 求点 $ (2, -1, 5) $ 到平面 $ 2x - y + z - 7 = 0 $ 的距离 | 点 $ (2,-1,5) $，平面 $ 2x - y + z - 7 = 0 $ | 代入公式：$ d = \frac{ | 4 + 1 + 5 - 7 | }{\sqrt{4 + 1 + 1}} = \frac{3}{\sqrt{6}} $ | 距离为 $ \frac{3}{\sqrt{6}} $ |
五、注意事项
- 公式中的分母必须是非零值，即平面法向量不能为零向量；
- 若点在平面上，则距离为 0；
- 在实际应用中，需注意单位统一，避免计算错误。
六、总结
点到平面的距离公式是立体几何中的一个重要工具，不仅适用于数学问题，也广泛用于工程设计、三维建模等实际场景。掌握其原理和使用方法，有助于提升对空间关系的理解与分析能力。
| 公式 | 应用场景 | 注意事项 | ||
| $ d = \frac{ | Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D | }{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} $ | 数学计算、工程设计、计算机图形学 | 法向量非零，单位统一，点可能在平面上 |
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