首先，相关系数 \( r \) 是衡量两个变量之间线性关系强度的一个重要参数。它的取值范围从 -1 到 1，其中：

- 当 \( r = 1 \) 时，表示完全正相关；

- 当 \( r = -1 \) 时，表示完全负相关；

- 当 \( r = 0 \) 时，表示没有线性关系。

\( r \) 的计算公式为：

\[

r = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum (x_i - \bar{x})^2 \sum (y_i - \bar{y})^2}}

\]

其中 \( x_i \) 和 \( y_i \) 分别是样本数据中的观测值，而 \( \bar{x} \) 和 \( \bar{y} \) 则是对应的均值。

接下来，我们来看决定系数 \( R^2 \)。它是相关系数 \( r \) 的平方，用来描述因变量的变化中有多少比例可以通过自变量来解释。\( R^2 \) 的取值范围同样是从 0 到 1，值越大表明模型对数据的拟合效果越好。具体来说，\( R^2 \) 可以通过以下公式计算：

\[

R^2 = 1 - \frac{\text{残差平方和}}{\text{总平方和}}

\]

这里的残差平方和是指实际观测值与预测值之间的差异平方和，而总平方和则是实际观测值与均值之间的差异平方和。

需要注意的是，虽然 \( R^2 \) 是一个非常有用的指标，但它并不是万能的。例如，在某些情况下，增加更多的自变量可能会导致 \( R^2 \) 提升，但这并不一定意味着模型的实际预测能力得到了改善。因此，在构建线性回归模型时，还需要结合其他诊断工具和技术来进行全面的分析。

总之，理解并正确使用相关系数 \( r \) 和决定系数 \( R^2 \) 对于提高数据分析的质量至关重要。希望本文能够帮助您更好地掌握这些基础知识，并将其应用于实际问题解决之中。