在数学分析中，函数的极限和连续性是两个非常重要的概念，它们不仅构成了微积分的基础，还广泛应用于物理学、工程学以及其他科学领域。本文将对这两个核心知识点进行系统的梳理和总结。

首先，我们来探讨函数的极限。所谓函数的极限，是指当自变量趋近于某个特定值时，函数值的变化趋势。例如，在x趋向于a的过程中，若f(x)无限接近于某一个确定的数值L，则称L为函数f(x)在点a处的极限。计算极限的方法多种多样，包括直接代入法、夹逼准则以及洛必达法则等。其中，夹逼准则尤其适用于处理一些复杂的分式形式；而洛必达法则则主要用于求解未定式的极限问题，比如0/0型或∞/∞型的情况。

接着，我们转向函数的连续性。如果一个函数在其定义域内的每一点都满足极限存在的条件，并且该极限恰好等于函数在此点的实际取值，则称此函数在这一点上是连续的。连续性的直观理解就是图像没有断开或者跳跃的现象。对于初学者来说，掌握闭区间上的连续函数性质尤为重要，如介值定理和最值定理。这些性质为我们解决实际问题提供了强有力的工具。

此外，还需要注意的是，函数的间断点分类。根据间断点的不同表现形式，可以将其分为第一类间断点（即左右极限存在但不相等）和第二类间断点（至少有一个方向上的极限不存在）。了解这些分类有助于更准确地描述函数的行为特征。

最后，结合极限与连续的关系来看，一个函数只有在其整个定义域内保持连续性时，才能保证其具有良好的可导性和积分特性。因此，深入理解这两者之间的联系对于进一步学习高等数学至关重要。

综上所述，函数极限与连续性不仅是理论研究的重要组成部分，也是实践应用不可或缺的基础知识。通过以上几点总结，希望能够帮助大家更好地把握这一部分内容的核心要点，并灵活运用于实际问题之中。