在数学分析中，三角函数的导数是一个基础且重要的知识点。本文将从定义出发，详细推导出余弦函数（cos x）的导数公式。

一、基本概念回顾

首先，我们需要明确导数的定义。对于一个函数 \( f(x) \)，其在某一点 \( x_0 \) 的导数可以表示为：

\[

f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}

\]

这一定义是导数的核心，也是后续推导的基础。

二、余弦函数的导数推导

设 \( f(x) = \cos x \)，我们根据导数的定义来计算其导数：

\[

f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\cos(x + h) - \cos x}{h}

\]

利用三角函数的和角公式：

\[

\cos(x + h) = \cos x \cos h - \sin x \sin h

\]

将其代入上述表达式：

\[

f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\cos x \cos h - \sin x \sin h - \cos x}{h}

\]

分离分子中的项：

\[

f'(x) = \lim_{h \to 0} \left( \frac{\cos x (\cos h - 1)}{h} - \frac{\sin x \sin h}{h} \right)

\]

分别处理两个极限部分。首先考虑 \(\frac{\cos h - 1}{h}\)：

\[

\lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} = 0

\]

这是因为当 \( h \to 0 \) 时，\(\cos h \approx 1\)，所以分子趋于零，分母趋于非零，极限为零。

接着考虑 \(\frac{\sin h}{h}\)：

\[

\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1

\]

这是经典的极限结果之一。

因此，原表达式简化为：

\[

f'(x) = \cos x \cdot 0 - \sin x \cdot 1 = -\sin x

\]

三、结论

通过上述推导，我们得到了余弦函数的导数公式：

\[

(\cos x)' = -\sin x

\]

这个结果表明，余弦函数的导数是其对应的正弦函数的负值。这一性质在微积分和物理学中有着广泛的应用。

希望本文的推导过程能够帮助读者更好地理解余弦函数导数的由来，并加深对数学分析的理解。